梯形的问题

[towerx]

这是一个梯形，其中上底为12cm
，下底为 20cm. 梯形内部找到一个内接圆，这个圆与梯形的四条边都相切.
计算半径?

 

[xchn818]

梯形斜边l
l平方=4r平方+16
l=6+10
r=√60

 

[reed]

梯形斜边l
l平方=4r平方+16
l=6+10
r=√60

内切圆是关键条件，请问你这个计算是怎样体现的？

 

[xchn818]

内切圆是关键条件，请问你这个计算是怎样体现的？

如图
BC=BD
Ac=af
Ab=Ac+bc
Bh=2r
Ah=4
勾股定理

 

[reed]

如图
BC=BD
Ac=af
Ab=Ac+bc
Bh=2r
Ah=4
勾股定理

浏览附件673856

你附加了一个条件，限定这是个等腰梯形，所以大大简化了计算。

但其实任意梯形都可以有内切圆，计算就很复杂了。

我可以证明，任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和，但再求内切圆半径的一般表达式，将涉及复杂的演算，我却步了

 

[xchn818]

你附加了一个条件，限定这是个等腰梯形，所以大大简化了计算。

但其实任意梯形都可以有内切圆，计算就很复杂了。

我可以证明，任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和，但再求内切圆半径的一般表达式，将涉及复杂的演算，我却步了

梯形不一定有内切圆，如一个很狭长的梯形。不等腰梯形，也是一样的解法，多几个变量。

 

[reed]

梯形不一定有内切圆，如一个很狭长的梯形。不等腰梯形，也是一样的解法，多几个变量。

当然不是所有梯形都有內切圆，很高或很扁的显然不可能有。条件就是我上面说的，两腰长之和等于上下底长之和，符合这个条件的梯形才有內切圆。

不等腰梯形，要求解內切圆半径，复杂很多，但应该只用初等运算即可，也就是代数和三角函数，各种变换技巧。

 

[reed]

楼主 @towerx 有什么见解？可以分享一下吗

 

[xchn818]

我算了一下，如果这道题不是等腰梯形，没有一般解，半径会随角度的不同而不同。譬如梯形顶边一头发生变化，为了保证内切，底边长度也变化，但变化长度和顶边不同，如果要维持条件中的边长，顶边另一方向需做反向变化，由于切点位置不同，底边变化不能保持另一端变化的比例相同。

 

[reed]

没错，如果不是等腰梯形，只给出上底和下底，则内切圆半径是不确定的。

在有内切圆和固定两底长的条件下，我把梯形的高 h 解出来（h = 2r），它是梯形两个底角的变量，所以没有一般解。只有在等腰梯形的条件下，楼主的题目才有解。



如果是等腰梯形，则两底角相等，于是由上式可推出腰长等于上下两底的平均值，再用勾股定理就可算出梯形的高，内切圆半径是高的一半。（正如4楼的结果）